smith체육대회나 동호회 대회, 송년회 게임 대진표를 짜다 보면 꼭 나오는 질문이 있어요. "잘하는 팀 둘은 따로 떨어뜨려야 하지 않아?" 결론부터 말하면 맞아요. 강팀 둘을 서로 멀리 떨어뜨릴수록 두 팀 모두 우승 확률이 올라가요. 8팀 대진표에서 실력이 같은 1700점 강팀 둘을 첫 경기에서 붙이면 둘의 우승 확률 합이 57.7%지만, 양 끝에 놓아 결승에서 만나게 하면 70.4%가 돼요.
그런데 더 놀라운 건 따로 있어요. 대진을 아무리 잘 짜도 가장 강한 팀이 우승하는 건 생각보다 드물어요. 다른 팀보다 100점 앞선 팀이 8팀 토너먼트에서 우승할 확률은 26.2%밖에 안 돼요. 이 글에서는 점수 차이가 한 경기 승률로 바뀌는 방법, 라운드를 거듭할수록 확률이 곱해져 줄어드는 과정, 시드 배정이 확률을 바꾸는 크기를 직접 계산한 숫자로 보여 드릴게요.
점수 차이가 한 경기 승률로 바뀌는 방법
팀 실력을 숫자로 나타내는 방법 중 하나가 체스 레이팅에서 온 Elo 방식이에요. 두 팀 점수가 Ra, Rb이면 A팀이 이길 확률은 1 ÷ (1 + 10^((Rb − Ra) ÷ 400))으로 계산해요. 점수가 같으면 50%이고 점수 차이가 클수록 한쪽으로 기울어요. 이 식은 어떤 대회의 "진짜 승률"을 알려 주는 게 아니라, 실력 차이를 대략 가늠하기 위한 모형이에요. 그래도 대진표의 구조가 우승 확률에 어떤 영향을 주는지 비교하는 데는 충분해요.
| 점수 차이 | 앞선 팀 승률 | 뒤진 팀 승률 |
|---|---|---|
| 0점 | 50.0% | 50.0% |
| 50점 | 57.1% | 42.9% |
| 100점 | 64.0% | 36.0% |
| 200점 | 76.0% | 24.0% |
| 300점 | 84.9% | 15.1% |
| 400점 | 90.9% | 9.1% |
100점 차이는 열 번 붙으면 여섯 번 남짓 이기는 정도예요. 같은 학교 안에서 학년 대표끼리 붙일 때처럼 "조금 더 잘하는 팀" 정도의 차이라고 생각하면 돼요. 200점 차이면 네 번 중 세 번 정도 이겨요.
라운드를 거칠수록 확률이 곱해져서 줄어들어요
단판 토너먼트에서 우승하려면 모든 라운드에서 이겨야 해요. 8팀이면 8강, 4강, 결승 세 번이고 상대가 1500점이라고 하면 각 경기 승률은 점수 차이로 정해져요. 8팀 중 한 팀만 앞서고 나머지가 모두 1500점일 때, 앞선 팀이 각 라운드를 통과할 확률을 계산한 결과예요.
| 앞선 점수 | 8강 통과 | 4강 통과 | 우승(결승 통과) |
|---|---|---|---|
| +50점 | 57.1% | 32.7% | 18.7% |
| +100점 | 64.0% | 41.0% | 26.2% |
| +200점 | 76.0% | 57.7% | 43.9% |
| +300점 | 84.9% | 72.1% | 61.2% |
+100점 팀의 우승 확률 26.2%는 0.64를 세 번 곱한 값이에요(0.64 × 0.64 × 0.64 = 0.262). 첫 경기는 64%로 이기는데 우승은 4번 중 1번 정도라는 뜻이에요. 반대로 같은 실력의 나머지 7팀이 합쳐서 73.8%를 가져가요. "가장 잘하는 팀이 우승한다"는 건 가장 가능성이 높은 한 가지일 뿐 일반적인 결과는 아니에요.
팀 수가 많을수록 한 팀에 몰리지 않아요
같은 100점 우위라도 팀 수가 늘면 연속으로 이겨야 하는 경기가 늘어요. 4팀은 두 번, 8팀은 세 번, 16팀은 네 번이에요. 계산해 보면 다음과 같아요.
| 팀 수 | 이겨야 하는 경기 | 100점 앞선 팀 우승 | 모두 같은 실력일 때 |
|---|---|---|---|
| 4팀 | 2번 | 41.0% | 25.0% |
| 8팀 | 3번 | 26.2% | 12.5% |
| 16팀 | 4번 | 16.8% | 6.25% |
16팀에서 100점 앞선 팀은 같은 실력일 때보다 약 2.7배(16.8 ÷ 6.25) 우승하기 쉽지만, 절대 확률로는 6번 중 1번이 안 돼요. 대회 규모가 커질수록 예상 밖의 팀이 우승하는 일이 더 흔해지는 이유예요.
강팀 둘을 어디에 놓을까: 직접 계산한 시드 배정 효과
8팀 대진표에서 1700점 강팀 두 팀과 1500점 팀 여섯 팀이 있다고 해 볼게요. 강팀 두 팀을 세 가지 자리에 놓았을 때, 두 팀의 우승 확률을 계산했어요. 강팀끼리는 같은 점수라서 두 팀의 확률은 서로 같아요.
| 배치 | 강팀 한 팀 우승 | 한 팀 결승 진출 | 두 팀 우승 합 | 나머지 6팀 합 |
|---|---|---|---|---|
| 1·2번 자리 (첫 경기에서 만남) | 28.9% | 38.0% | 57.7% | 42.3% |
| 1·3번 자리 (4강에서 만남) | 32.5% | 42.7% | 64.9% | 35.1% |
| 1·8번 자리 (결승에서 만남) | 35.2% | 57.7% | 70.4% | 29.6% |
양 끝에 놓으면 강팀이 결승 전에 서로 만나지 않으니, 결승 진출 확률이 38.0%에서 57.7%로 크게 올라요. 두 팀이 결승에서 만나는 경우에는 둘 중 한 팀은 반드시 우승하니까 두 팀의 합계가 가장 높아져요. 반대로 첫 경기에서 서로 만나면 한 팀은 바로 떨어지고, 살아남은 팀도 남은 두 경기를 이겨야 해요.
시드 배정은 강팀이 둘 이상일 때 의미가 있어요. 모든 팀이 같은 실력이면 어디에 놓아도 확률은 똑같고, 강팀이 한 팀뿐이면 그 팀이 어느 자리에 있어도 만나는 상대는 모두 같은 점수라서 우승 확률이 같아요.
상황별로 대진표 짜는 법
- 실력 차이가 비슷한 사내·동호회 대회: 시드는 사실상 영향이 작아요. 추첨으로 정해도 공정하고, 조작 논란도 줄어요.
- 작년 우승·준우승 팀이 있는 대회: 두 팀을 대진표 양 끝에 놓으면 결승에서 만나는 구도가 가능해져 대회가 흥행하기 쉬워요. 다만 강팀이 일찍 만나 탈락하는 일을 막는다는 건 약팀의 우승 기회를 조금 줄인다는 뜻이기도 해요.
- 팀 수가 4·8·16이 아닐 때: 일부 팀이 첫 경기를 건너뛰는 부전승이 생겨요. 부전승은 보통 상위 시드에게 주는데, 이 경우 상위 시드의 우승 확률은 올라가요. 이 글의 계산은 부전승이 없는 대진표만 다뤄요.
- 한 경기로 끝내기 불안할 때: 3판 2선승제로 바꾸면 같은 점수 차이에서 강팀이 이길 확률이 올라가요. 100점 차 한 경기 승률 64%는 3판 2선승제에서 약 70.5%가 돼요. 시리즈 승률은 별도 계산기로 확인하세요.
계산기로 직접 해 보기
위 표의 숫자는 토너먼트 우승 확률 계산기로 바로 확인할 수 있어요. 팀 이름과 점수를 한 줄씩 넣으면 우승 확률과 결승 진출 확률이 나오고, 줄 순서를 바꾸면 시드 배정 효과가 보여요. "한 번 치러 보기"를 누르면 같은 점수로 대회를 실제로 굴려 볼 수 있고, 1,000번 치러 보기를 누르면 계산값에 가까운 비율이 나오는 것도 확인할 수 있어요.
자주 묻는 질문
가장 강한 팀이 우승하는 게 보통 아닌가요?
확률이 가장 높은 건 맞지만 보통은 아니에요. 100점 앞선 팀의 8팀 토너먼트 우승 확률은 26.2%, 16팀이면 16.8%예요. 실력이 확실히 앞서려면 300점쯤 차이가 나야 8팀에서 61.2%가 돼요.
시드 배정을 하면 약팀이 불리해지나요?
강팀이 일찍 만나 탈락하는 일이 줄기 때문에 약팀이 이기는 경우의 수는 조금 줄어요. 8팀 예시에서 약팀 여섯의 우승 확률 합은 첫 경기에서 강팀끼리 만나면 42.3%, 결승에서 만나면 29.6%예요. 대회 목적이 흥행인지 공정한 추첨인지에 따라 선택하면 돼요.
점수는 어떻게 정하나요?
지난 대회 성적이나 순위를 바탕으로 상대적인 차이로 정해요. 비슷하면 모두 1500점, 눈에 띄게 강하면 +50~100점, 약하면 −50~100점쯤으로 시작해 보세요. 점수 자체는 추정이라서 실제 승률과 다를 수 있어요.
팀이 6팀이나 10팀이면 어떻게 계산하나요?
부전승이 생기는 대진표라서 4·8·16팀과 다르게 계산해야 해요. 계산기는 4·8·16팀만 지원해요. 가장 가까운 팀 수로 맞추거나, 경기별 승률을 직접 곱해서 구해야 해요.
3판 2선승제로 하면 얼마나 달라지나요?
한 경기 승률이 p이면 3판 2선승제 시리즈 승률은 p² × (3 − 2p)예요. p = 0.64이면 0.4096 × 1.72 ≈ 0.705로 약 70.5%예요. 한 경기 64%가 70%대로 올라가는 만큼 이변이 줄어요.
정리
- 우승하려면 모든 라운드를 이겨야 해서, 한 경기 승률이 높아도 곱하면 확 줄어요. 100점 앞선 팀의 8팀 우승 확률은 26.2%예요.
- 팀 수가 많을수록 한 팀에 몰리지 않아요. 같은 실력이면 8팀 12.5%, 16팀 6.25%예요.
- 강팀이 둘 이상이면 서로 멀리 떨어뜨릴수록 두 팀의 우승 확률 합이 올라가요. 8팀 예시에서 57.7%→64.9%→70.4%였어요.
- 직접 계산해 보려면 토너먼트 우승 확률 계산기를, 시리즈 승부는 시리즈 승리 확률 계산기를, 일반 확률은 확률 계산기를 이용하세요.
- 참고 자료: Elo rating system (Wikipedia), Single-elimination tournament (Wikipedia)