포토카드·띠부씰 전종 컴플릿, 몇 개를 뽑아야 다 모을까 평균과 90% 개수

랜덤으로 한 개씩 나오는 포토카드, 띠부씰, 빵 스티커, 편의점 굿즈를 모으다 보면 누구나 같은 경험을 해요. 처음 몇 장은 새 종류가 줄줄이 나오는데, 어느 순간부터 계속 겹치기만 해요. 결론부터 말하면 종류가 n개일 때 전종을 모으는 평균 개수는 n × (1 + 1/2 + … + 1/n) 이고, 12종이면 평균 37.2개예요. 종류 수의 3배쯤 되는 숫자예요.

더 중요한 건 평균만 믿고 예산을 잡으면 위험하다는 점이에요. 12종에서 37개를 뽑았을 때 컴플릿할 확률은 59.3%밖에 안 돼요. 열 번 중 네 번은 한두 장이 비어요. 이 글에서는 평균, 90%·99% 확률로 필요한 개수, 마지막 한 장이 가장 오래 걸리는 이유, 예산을 잡는 방법을 직접 계산한 숫자로 정리해요. 모든 종류가 같은 확률로 한 개씩 독립적으로 나오는 경우가 기준이에요.

전종을 모으는 평균 개수는 이렇게 계산해요

이미 k종을 모았다면 다음에 뽑은 것이 새 종류일 확률은 (n−k)/n 이에요. 새 종류가 나올 때까지 평균 n/(n−k)개를 뽑아야 해요. 이것을 첫 종류부터 마지막 종류까지 더하면 전종 평균이 나와요.

12종을 모으는 과정을 단계별로 보면 이래요.

이 열을 모두 더하면 37.24개예요. 앞의 여섯 종류를 모으는 데는 합쳐서 7.8개면 되지만, 마지막 세 종류에는 22개가 들어요. 전체의 약 59%를 마지막 세 종류가 차지해요. 컴플릿이 어렵게 느껴지는 건 기분 탓이 아니라 구조 때문이에요.

종류 수별 평균과 90%·99% 개수

종류가 많아질수록 필요한 개수는 종류 수보다 빠르게 늘어요. 아래 표는 모든 종류가 같은 확률일 때 직접 계산한 값이에요. 포함·배제 원리로 정확한 확률을 구한 뒤 목표 확률을 처음 넘는 개수를 찾았어요.

평균은 50% 확률 개수와 거의 같아요. 즉 평균만큼 사면 컴플릿할 가능성은 절반을 조금 넘는 정도예요. 12종이면 평균에 가까운 37개에서 59.3%, 50종이면 평균 225개에서 약 58%예요. 안심하려면 90% 개수가 평균보다 약 1.5배, 99% 개수는 약 2.2배 많다는 점을 기억하세요.

같은 40개를 사도 결과가 크게 달라요

12종에서 40개를 뽑았을 때 컴플릿할 확률은 약 67%예요. 그래서 같은 40개를 산 사람 셋 중 한 명은 빈 칸이 남아요. 이게 억울한 일이 아니라 확률의 정상 범위예요. 모의실험으로 12종을 1,000번 컴플릿해 보면 가장 빨리 끝난 경우는 10여 개, 가장 오래 걸린 경우는 100개를 넘는 일도 생겨요. 평균이 37개여도 사람마다 편차가 매우 커요.

그래서 "이번에도 나만 안 나온다"고 느끼는 건 자연스러워요. 뽑기 결과가 몰려 나오는 구간이 항상 있고, 사람은 안 나오는 구간을 더 오래 기억해요.

최애 한 종만 노릴 때

전종이 아니라 특정 한 종만 필요하다면 계산이 훨씬 단순해요. 한 번 뽑을 때 그 종류가 나올 확률이 1/12이니, 한 번도 안 나올 확률은 (11/12)^m 이에요.

평균은 12개지만, 12개를 뽑아도 최애가 나올 확률은 64.8%예요. 종류가 24종이어도 24개를 뽑았을 때 64.0%로 거의 같아요. 평균 개수는 "대략 이 정도"일 뿐, 확실히 얻으려면 2~4배를 생각하라는 뜻이에요. 확률이 낮은 한정 카드가 따로 있다면 뽑기·천장 계산기로 따로 계산하는 게 맞아요.

예산을 잡는 방법

개당 가격이 2,000원인 12종 굿즈를 예로 들어 볼게요. 가격은 계산을 보여 주기 위한 예시예요.

평균만 보고 74,400원을 준비했다가 빈 칸이 남으면 추가 지출이 생겨요. 90% 기준 110,000원을 상한으로 잡고, 도달하기 전에 컴플릿이 되면 남는 돈을 아끼는 방식이 마음이 편해요. 99% 기준은 "무슨 일이 있어도 전종을 모으겠다"는 경우에만 필요한 금액이에요.

개수를 정해 놓고 멈추기

마지막 한두 장이 남으면 계속 사고 싶은 마음이 커져요. 마지막 한 종류에 평균 12개(24,000원)가 필요한데, 이 종류를 중고나 교환으로 구하면 보통 훨씬 적게 들어요. 그래서 목표 개수에 도달하면 멈추고 남은 칸은 다른 방법으로 채운다는 규칙을 미리 정해 두세요.

친구와 같이 모으면

여러 명이 각자 사서 중복을 교환하면 컴플릿이 훨씬 쉬워져요. 5명이 각자 40개씩 사서 합치면 200개이고, 12종이 모두 있을 확률은 99.9999% 이상이에요. 혼자 모으면 평균 37개가 필요한 걸 생각하면 한 사람당 40개로 5명 모두 컴플릿할 수 있는 셈이에요. 교환이 가능한 환경이라면 혼자 뽑기를 반복하는 것보다 확실히 이득이에요.

이 계산이 맞지 않는 경우

• 확률이 다른 종류가 섞여 있을 때: 시크릿·한정 카드는 보통 일반 카드보다 확률이 낮아요. 이 경우 필요한 개수는 위 표보다 늘어나요.
• 박스 단위로 종류가 고르게 들어 있을 때: 한 박스에 12종이 한 장씩 들어 있다면 한 박스에 컴플릿이에요. 낱개 뽑기와 계산이 달라요. 박스 구성이 공개되어 있는지 확인하세요.
• 뽑는 방식이 독립이 아닐 때: 같은 상자에서 연달아 뽑으면 이미 나온 종류는 상자 안에서 줄어들어요. 이 경우 중복이 덜 나와요.
• 유료 확률형 상품일 때: 확률형 아이템이나 랜덤 상품은 판매자가 확률을 표시해야 하는 경우가 있고, 환불 기준도 상품마다 달라요. 구매 전에 판매처 안내를 확인하세요.

직접 해 보면 감이 와요

계산 결과가 와닿지 않으면 직접 굴려 보는 게 가장 빨라요. 포토카드·띠부씰 컴플릿 계산기에서 종류 수를 넣고 "컴플릿까지 뽑기"를 몇 번 눌러 보세요. 같은 12종인데 어떤 때는 20개 남짓에, 어떤 때는 80개가 넘어서야 끝나요. "1,000번 컴플릿해 보기"를 누르면 평균과 가장 빠를 때·오래 걸릴 때를 막대로 보여 줘요. 수집 체크는 포토카드 수집 체크리스트에서 멤버와 버전별로 관리할 수 있고, 일반적인 확률 계산은 확률 계산기를 쓰면 돼요.

수학적 배경이 궁금하다면 Coupon collector's problem (Wikipedia)에 증명과 변형 문제가 정리되어 있어요. 이 글의 숫자는 위 공식으로 파이썬 분수 계산을 해서 얻었고, 브라우저 계산기 결과와 일치하는 것을 확인했어요.

자주 묻는 질문

전종 12개를 모으려면 평균 몇 개를 사야 하나요?

모든 종류가 같은 확률이라면 평균 37.2개예요. 다만 평균만큼 사면 컴플릿할 확률은 약 59%이고, 90%는 55개, 99%는 82개가 필요해요.

마지막 한 장이 왜 이렇게 안 나오나요?

이미 모은 종류가 많을수록 새 종류가 나올 확률이 낮아지기 때문이에요. 12종 중 11종을 모은 상태에서는 새 종류가 나올 확률이 12분의 1이라 평균 12개를 뽑아야 해요.

종류가 2배면 필요한 개수도 2배인가요?

2배보다 조금 더 늘어요. 12종은 평균 37.2개, 24종은 평균 약 90.6개로 2.4배 정도예요. 종류가 많아질수록 증가 폭이 더 커져요.

같은 확률이 아닌 경우는 어떻게 계산하나요?

확률이 낮은 종류가 섞이면 그 종류 때문에 필요한 개수가 크게 늘어요. 확률이 낮은 종류를 따로 떼어 평균 1/p개로 어림하고, 나머지 종류와 합산해 보세요. 정확한 값은 모의실험이 필요해요.

박스로 사면 낱개보다 유리한가요?

박스 안에 종류가 고르게 들어 있다면 훨씬 유리해요. 한 박스가 한 세트라면 한 박스로 컴플릿이에요. 박스 구성이 비공개이거나 랜덤이면 낱개와 비슷하게 봐야 해요.

친구와 교환하면 얼마나 유리한가요?

매우 유리해요. 여러 명이 가진 카드를 합치면 각자가 따로 모을 때보다 훨씬 적은 총량으로 모두 컴플릿할 수 있어요. 교환이 가능하다면 마지막 몇 장은 구입 대신 교환이 낫습니다.

정리

전종 컴플릿은 평균 n × (1 + 1/2 + … + 1/n) 개이고, 12종이면 37.2개예요. 평균에 맞춰 예산을 잡으면 40% 정도는 부족해요. 90% 확률 개수(12종 55개)를 상한으로 잡고, 마지막 한두 장은 교환이나 중고로 채우는 걸 기본 전략으로 삼으세요. 확률형 상품은 구매 전에 판매처의 확률 표시와 환불 기준을 꼭 확인하세요.