제비뽑기 순서 정하기, 먼저 뽑아야 유리할까? 순번별 당첨 확률 계산

송년회 경품 추첨이나 청소 당번 뽑기에서 늘 나오는 말이 있어요. "먼저 뽑아야 당첨이 남아 있을 때 뽑으니까 유리하다", 아니면 "뒤에 뽑아야 앞사람 결과를 보고 알 수 있으니까 유리하다"예요. 결론부터 말하면 상자 안의 제비가 섞여 있고 뽑은 결과를 아직 아무도 모르는 상태라면, 몇 번째로 뽑든 당첨될 확률은 똑같아요. 10명이 당첨 2개짜리 제비를 한 장씩 뽑는다면 1번째도 5번째도 10번째도 모두 20%예요.

이 글에서는 왜 순서와 상관없이 확률이 같은지, 앞사람이 꽝을 뽑았을 때 내 확률이 오르는 것은 무슨 뜻인지, 중간에 순서를 바꾸거나 뽑은 제비를 다시 넣을 때(복원) 달라지는 점을 숫자로 풀어요. 확률 계산 자체는 확률 계산기나 조합 계산기로 따라 해 볼 수 있어요. 모든 숫자는 직접 계산하고 20만 번 무작위 시뮬레이션으로도 확인했어요.

먼저 뽑으나 나중에 뽑으나 확률이 같은 이유

10장의 제비 중 당첨이 2장이고 10명이 순서대로 한 장씩 뽑는다고 해 볼게요. 5번째 사람의 당첨 확률을 구하려면 "5번째로 뽑는 제비가 당첨일 확률"을 보면 돼요. 10장을 모두 섞어 일렬로 늘어놓았다고 생각하면, 당첨 제비 2장이 10개 자리 중 어디에 있을지는 모든 경우가 똑같이 일어날 수 있어요. 그중 5번째 자리가 당첨인 경우는 10개 자리에서 당첨 자리 2개를 고르는 경우의 수 C(10,2)=45가지 중에 5번째가 포함된 9가지예요. 9 ÷ 45 = 0.2, 즉 20%예요.

이 계산은 몇 번째를 넣어도 똑같아서 1번째도 9 ÷ 45, 10번째도 9 ÷ 45예요. 더 간단히 말하면 "특정 자리가 당첨일 확률 = 당첨 수 ÷ 전체 수 = 2 ÷ 10"이에요. 아래는 10만 번씩 두 번, 총 20만 번 무작위로 뽑아 순서별로 당첨된 비율을 센 값이에요. 모두 20% 근처에 있어요.

앞사람이 꽝일 때 내 확률이 올라가는 것은 무슨 뜻일까

여기서 헷갈리는 지점이 있어요. 앞사람들이 꽝을 뽑은 것을 내가 봤다면 남은 제비 중 당첨 비율이 커지니 내 확률이 올라가요. 아래 표는 10장 중 당첨 2장에서 앞사람 k명이 모두 꽝이었을 때 다음 사람의 당첨 확률이에요. 공식은 당첨 수 ÷ 남은 제비 수, 즉 2 ÷ (10 − k)예요.

표만 보면 "뒤로 갈수록 유리하다"고 느껴져요. 하지만 이 표는 "앞사람이 전부 꽝"이라는 조건이 붙은 확률이에요. 그 조건이 일어날 확률은 반대로 점점 낮아져요. 앞 m명이 모두 꽝일 확률은 C(8,m) ÷ C(10,m)이에요.

예를 들어 6번째 사람의 확률을 따져 볼게요. 앞 5명이 모두 꽝일 확률이 22.2%이고 그때 내 확률이 40%예요. 앞 5명 중 당첨이 한 번 나온 경우에는 내 확률이 1장 ÷ 5장 = 20%, 두 번 나왔다면 0%예요. 이 경우들을 모두 평균하면 정확히 20%가 돼요. 조건에 따라 올랐다 내렸다 하지만 평균은 변하지 않는 거예요. 이것이 "순서가 공평하다"는 말의 정확한 뜻이에요.

결과를 바로 공개하면 정보가 생겨요

그렇다면 왜 "뒤에 뽑는 게 유리한 것 같다"는 느낌이 드는 걸까요? 이유는 결과를 공개하기 때문이에요. 한 명씩 뽑고 그 자리에서 열어 보여 주면 뒤 사람은 남은 제비 구성을 알게 되고, 마지막 사람에게는 선택의 여지가 없어서 확률이 0%나 100%로 정해져요. 확률의 평균은 같아도 뒤로 갈수록 "결과를 이미 아는 상태"에 가까워지기 때문에 긴장감이 달라요. 특히 이런 상황은 조심해야 해요.

• 중간에 순서를 바꿀 수 있을 때: 앞사람 결과를 본 뒤에 순서를 바꿀 수 있다면 그건 정보를 이용한 것이라 공정하지 않아요. 순서는 뽑기 전에 정하세요.
• 뽑은 제비를 열어 보기 전에 다른 사람과 바꿀 수 있을 때: 열어 보지 않았다면 바꿔도 확률은 같아요. 다만 누군가 이미 열어 본 상태에서의 교환은 공정하지 않아요.
• 마지막 한 장 남았을 때: 남은 제비는 이미 결정된 거라 확률 이야기가 아니에요. 끝까지 하는 방식이면 마지막 사람은 선택권이 없어요.

복원과 비복원: 뽑은 제비를 다시 넣으면

뽑은 제비를 도로 넣고 섞는 방식(복원 추출)이라면 매번 확률은 20%로 똑같아요. 이때는 앞사람 결과가 뒤 확률에 아무 영향도 주지 않아요. 비복원일 때처럼 조건에 따라 오르내리지도 않아요. 다만 복원 방식에서는 당첨이 정확히 2번만 나온다는 보장이 없어요. 10명이 뽑으면 당첨 수가 0명일 수도, 10명일 수도 있어요. 정해진 수의 당첨자를 뽑아야 하는 상황이라면 비복원이 맞아요.

두 방식을 숫자로 비교해 볼게요. 10명이 복원 방식으로 한 번씩 뽑을 때 아무도 당첨되지 않을 확률은 0.8의 10제곱 = 10.7%예요. 반면 비복원 방식으로 당첨 2장을 모두 뽑게 하면 아무도 안 걸릴 확률은 0이에요. 경품처럼 반드시 당첨자가 나와야 하면 비복원, 매번 독립적인 확률 게임이라면 복원이에요.

청소 당번 뽑기로 보는 실제 예시

20명 중 5명을 청소 당번으로 뽑는 경우를 생각해 볼게요. 한 사람이 걸릴 확률은 5 ÷ 20 = 25%이고, 뽑는 순서와 상관없어요. 매주 새로 뽑는다면 두 주 연속 안 걸릴 확률은 0.75 × 0.75 = 56.25%예요. 두 주 모두 걸릴 확률은 0.25 × 0.25 = 6.25%이고요. 즉 20명 모임에서 한 달 4주를 매주 새로 뽑으면, 한 번도 안 걸릴 확률이 0.75의 4제곱으로 31.6%예요. 세 명 중 한 명쯤은 한 달 동안 한 번도 안 걸리고, 같은 사람이 계속 걸리는 일도 흔히 일어나요. 이것이 불공평하다고 느껴지면 앞선 주에 걸린 사람을 빼고 뽑는 방식(비복원)으로 규칙을 바꾸면 돼요.

사다리타기도 같은 원리일까

사다리타기는 가로줄이 무작위로 놓이기만 하면 시작 위치와 상관없이 도착 칸이 전부 일대일로 연결돼요. 가로줄이 하나 있을 때마다 두 사람의 도착 칸이 서로 바뀌기 때문에 결과적으로 어떤 사람이든 어떤 칸에 갈 확률이 모든 칸이 같게 되는 구조예요. 가로줄을 사람이 일부러 고르지 않았다면 사다리의 어느 위치를 고르든 공평해요. 다만 가로줄을 적게 그리거나 한쪽에만 몰려 있으면 도착이 옆자리로 한정돼 균등하지 않을 수 있어요. 사다리를 그릴 때는 가로줄을 충분히 넣고 한 사람이 그리지 않도록 하세요.

자주 묻는 질문

제비뽑기는 마지막에 뽑는 사람이 손해인가요?

확률로는 손해가 아니에요. 섞은 제비를 비밀로 한 채 뽑으면 마지막 사람도 처음 사람과 같은 확률이에요. 다만 결과를 열어서 공개하면 마지막 사람은 선택의 여지가 없다는 점이 달라요.

앞사람이 당첨을 뽑으면 내 확률은 낮아지나요?

앞사람이 당첨을 뽑았다는 것을 알면 당첨 제비가 줄어서 내 확률이 낮아져요. 10장 중 2장에서 앞사람이 하나 뽑았다면 내 확률은 1 ÷ 9 = 11.1%예요. 모르는 상태에서는 20%가 그대로예요.

가위바위보로 순서를 정하는 것도 공평한가요?

세 가지가 똑같이 낼 수 있다면 각 사람이 이길 확률이 같아서 공평해요. 몇 번 만에 결판이 나는지는 가위바위보 확률 계산기에서 인원별로 확인할 수 있어요.

인원이 많으면 같은 일이 반복될 확률이 높아지나요?

네, 쌍의 수가 인원 제곱으로 늘어나기 때문이에요. 모임에서 생일이 같은 사람이 있을 확률이 23명에 50%가 넘는 것도 같은 이유예요. 자세한 계산은 생일 역설 계산기에서 볼 수 있어요.

당첨자 수가 다르면 순서의 공정성이 달라지나요?

아니에요. 당첨이 1개든 5개든 당첨 수 ÷ 전체 수가 순서와 상관없이 모두에게 같은 확률이에요. 달라지는 건 확률의 크기뿐이에요.

정리

• 섞은 제비를 비밀로 하고 한 장씩 뽑으면 몇 번째든 당첨 확률은 당첨 수 ÷ 전체 수로 같아요. 10장 중 2장이면 모두 20%예요.
• 앞사람 결과를 아는 상태에서는 확률이 오르내리지만 평균하면 같아요. 순서가 불공평해지는 때는 정보를 이용해 순서를 바꾸거나 교환할 수 있을 때예요.
• 정해진 수의 당첨자를 뽑아야 하면 비복원(뽑은 제비 제외), 매번 독립적으로 뽑으면 복원이에요.
• 확률 계산은 확률 계산기, 경우의 수는 조합 계산기로 확인하고, 모임 인원이 많을 때의 의외의 확률은 생일 역설 계산기로 볼 수 있어요.

확률의 기본 개념은 조건부 확률(Wikipedia)에서도 같은 설명을 찾을 수 있어요.