smith"확률이 1%면 100번 뽑으면 한 번은 나오겠지." 뽑기나 확률형 아이템, 경품 응모에서 가장 흔한 생각이에요. 결론부터 말하면 확률 1%를 100번 뽑아서 1개 이상 나올 확률은 63.4%예요. 열 번 중 서너 번은 100번을 다 뽑고도 빈손으로 끝난다는 뜻이에요. 평균이 100번이라는 말과 100번이면 나온다는 말은 다른 이야기예요.
이 글에서는 평균 횟수와 실제로 필요한 횟수가 왜 다른지, 직전에 안 나왔다고 다음에 잘 나오지는 않는 이유, 천장(일정 횟수째에 확정)이 있으면 평균이 얼마나 줄어드는지를 숫자로 풀어요. 직접 넣어 보려면 뽑기 확률·천장 계산기를 쓰면 되고, 일반적인 n번 중 k번 확률은 확률 계산기에서 구할 수 있어요. 모든 숫자는 정확한 분수 계산과 모의실험으로 따로 검산했어요.
1% 뽑기를 n번 뽑으면 나올 확률
한 번 뽑을 때 안 나올 확률은 99%예요. 두 번 연속 안 나올 확률은 0.99 × 0.99, 100번 연속이면 0.99의 100제곱이에요. 이 값이 0.366(36.6%)이라서 "100번 안에 한 번이라도 나올 확률"은 1에서 빼 63.4%가 돼요. 같은 식으로 구한 횟수별 확률은 다음과 같아요.
| 뽑은 횟수 | 1개 이상 나올 확률 | 한 번도 안 나올 확률 |
|---|---|---|
| 10번 | 9.6% | 90.4% |
| 30번 | 26.0% | 74.0% |
| 50번 | 39.5% | 60.5% |
| 69번 | 50.0% | 50.0% |
| 100번 | 63.4% | 36.6% |
| 150번 | 77.9% | 22.1% |
| 230번 | 90.1% | 9.9% |
| 300번 | 95.1% | 4.9% |
| 459번 | 99.0% | 1.0% |
평균(100번)에서 63%, 평균의 2.3배(230번)에서 90%예요. 곡선은 끝까지 100%에 닿지 않아요.
표로 보기
| 구분 | 1개 이상 나올 확률 |
|---|---|
| 10번 | 9.6 |
| 30번 | 26 |
| 50번 | 39.5 |
| 69번 | 50 |
| 100번 | 63.4 |
| 150번 | 77.9 |
| 230번 | 90.1 |
| 300번 | 95.1 |
| 459번 | 99 |
주목할 점은 절반에 도달하는 횟수가 평균의 0.69배(69번)라는 거예요. 확률이 낮은 뽑기일수록 "평균쯤 뽑으면 되겠지"라고 예산을 세우면 열에 서넛은 모자라요. 그래서 계산기에서는 평균 횟수와 함께 50%, 90%, 99%를 넘기려면 몇 번이 필요한지를 따로 보여 줘요.
평균 횟수와 현실의 차이
천장이 없는 뽑기에서 첫 당첨까지 걸리는 횟수의 평균은 1 ÷ p예요. 1%면 100번, 0.6%면 166.7번, 0.3%면 333.3번이에요. 평균을 못 믿을 것은 아니에요. 아주 많은 사람이 각자 뽑았을 때 그들의 평균 횟수가 100번에 가까워진다는 뜻이에요. 다만 개인 한 명에게는 운이 좋으면 1번에 끝나고 나쁘면 300번을 넘겨요.
| 1회 확률 | 평균(1 ÷ p) | 50% 도달 | 90% 도달 | 99% 도달 |
|---|---|---|---|---|
| 0.3% | 333번 | 231번 | 767번 | 1,533번 |
| 0.6% | 167번 | 116번 | 383번 | 766번 |
| 1% | 100번 | 69번 | 230번 | 459번 |
| 3% | 33번 | 23번 | 76번 | 152번 |
| 5% | 20번 | 14번 | 45번 | 90번 |
표에서 90% 도달 횟수는 평균의 약 2.3배, 99% 도달은 약 4.6배예요. 어떤 확률이든 이 배수는 거의 같아요. 예산을 짤 때는 평균이 아니라 "얼마나 확실하게 얻고 싶은가"에 따라 평균의 1배·2.3배·4.6배 중에서 정하는 게 편해요.
직전에 안 나왔으면 다음에는 잘 나올까
"50번 연속 실패했으니 이제 나올 때가 됐다"는 느낌은 도박사의 오류라고 불리는 착각이에요. 뽑을 때마다 서로 독립이라서 연속 실패의 길이와 상관없이 다음 한 번의 확률은 여전히 1%예요. 이를 확인하려고 확률 1%의 뽑기를 2,000만 번 굴려서 "직전에 50번 이상 연속 실패했던 경우"만 모아 다음 한 번의 당첨 비율을 세어 봤어요. 약 1,210만 건에서 당첨 비율은 1.00%였어요.
그럼 왜 "곧 나올 것 같은 느낌"이 드는가 하면, 100번 연속 실패할 확률(36.6%) 자체는 낮아지고 있기 때문이에요. 이미 50번 실패한 사람이 "앞으로 50번 안에 나올 확률"은 처음부터 50번 뽑는 사람의 확률(39.5%)과 똑같아요. 쌓인 실패는 사라지지도, 보상으로 돌아오지도 않아요.
천장이 있으면 무엇이 달라지나
천장은 일정 횟수 동안 당첨이 없으면 그 횟수째 뽑기를 확정으로 주는 장치예요. 이 경우 확률이 아무리 낮아도 최대 횟수가 정해져서 예산의 상한을 알 수 있다는 점이 가장 커요. 확률 0.6%, 천장 90회를 기준으로 천장이 없을 때와 비교해 볼게요.
| 뽑은 횟수 | 1개 이상 (천장 없음) | 1개 이상 (천장 90회) |
|---|---|---|
| 10번 | 5.8% | 5.8% |
| 30번 | 16.5% | 16.5% |
| 50번 | 26.0% | 26.0% |
| 70번 | 34.4% | 34.4% |
| 89번 | 41.5% | 41.5% |
| 90번 | 41.8% | 100% |
| 116번 | 50.2% | 100% |
| 180번 | 66.2% | 100% |
두 열을 비교하면 천장 직전인 89번째까지는 완전히 같아요. 천장은 89번 동안 계속 안 나오는 운 나쁜 구간을 잘라 주는 장치지, 앞쪽 구간의 확률을 올려 주지는 않아요. 그래서 평균은 166.7번에서 69.7번으로 줄지만, 30번이나 50번쯤 뽑았을 때 나올 확률은 천장이 있든 없든 그대로예요. 천장이 90이라고 해서 "50번쯤이면 반쯤 보장된 느낌"으로 계획하면 맞지 않아요. 50번 시점의 확률은 여전히 26.0%예요.
또 하나, 천장 카운트가 당첨 뒤 0으로 돌아간다면 두 번째 당첨을 얻는 데도 같은 구조가 반복돼요. 180번을 뽑을 때 기대되는 당첨 개수는 약 2.31개예요(180 ÷ 69.7 = 2.58이 아닌 이유는 180번째에 진행 중이던 마지막 구간을 세지 않기 때문이에요).
원하는 게 2개라면
"하나만 나오면 된다"가 아니라 "2개가 필요하다"면 필요한 횟수는 거의 두 배로 늘어요. 1% 뽑기를 100번 뽑아 2개 이상 얻을 확률은 26.4%, 3개 이상은 7.9%예요. 2개 이상을 90%의 확률로 얻으려면 천장이 없을 때 388번이 필요해요. 1개 이상 90%가 230번이니까 1.7배예요. 목표 개수가 늘수록 평균 횟수는 개수에 비례해서 늘고, 안전하게 가려면 그보다 조금 더 필요해요.
예산으로 바꿔 보기
1회 뽑기에 1,600원이 든다고 가정하고 계산해 볼게요. 숫자는 설명을 위한 예시 가격이고, 실제 가격은 서비스마다 달라요.
| 상황(1회 1,600원 가정) | 횟수 | 비용 |
|---|---|---|
| 확률 1%, 평균 | 100번 | 160,000원 |
| 확률 1%, 50% 도달 | 69번 | 110,400원 |
| 확률 1%, 90% 도달 | 230번 | 368,000원 |
| 확률 0.6%, 천장 90, 평균 | 69.7번 | 약 111,500원 |
| 확률 0.6%, 천장 90, 최악 | 90번 | 144,000원 |
| 확률 0.6%, 천장 없음, 90% 도달 | 383번 | 612,800원 |
이렇게 보면 "평균 비용만 내면 된다"는 가정이 위험하다는 게 보여요. 확률 1% 뽑기에서 평균 비용인 160,000원을 예산으로 잡은 사람 중 36.6%는 목표를 못 얻어요. 천장이 있는 뽑기는 최악의 비용이 정해져 있어서 상한을 미리 계산해 둘 수 있고요. 예산을 정할 때는 "얻고 싶은 확실성"(50%인지 90%인지)과 "더 쓰지 않을 상한"을 먼저 정한 다음 계산기에서 맞춰 보세요. 상한에 닿기 전에 멈추는 규칙도 미리 정해 두는 편이 좋아요.
자주 묻는 질문
확률 1%인데 100번 뽑아도 안 나올 수 있나요?
네, 천장이 없다면 100번 뽑고도 한 번도 못 보는 확률이 36.6%예요. 평균 100번이라는 말은 100번 안에 반드시 나온다는 뜻이 아니에요. 100번 안에 나올 확률은 63.4%이고, 90%가 되려면 230번이 필요해요.
10연차를 10번 하는 것과 100번을 한 번에 하는 것은 확률이 다른가요?
같아요. 각 뽑기가 독립이라서 묶음 단위는 의미가 없고 총 횟수만 중요해요. 10연차를 10번이든 하나씩 100번이든 1개 이상 나올 확률은 63.4%예요. 다만 서비스가 10연차에만 보장(최소 등급 확정 등)을 둔다면 그 보장은 별도로 따져야 해요.
천장이 있으면 앞쪽 확률도 올라가나요?
아니에요. 천장은 확정되는 횟수째에서만 작동하고 그 전까지의 확률은 그대로예요. 0.6%에 천장 90이면 89번째까지는 천장이 없는 경우와 같고, 90번째에 100%가 돼요. 그래서 평균 횟수와 최대 횟수가 줄어드는 효과를 얻어요.
천장 카운트를 이어받으면 어떻게 계산하나요?
이미 쌓인 횟수를 뺀 남은 횟수를 천장 칸에 넣으면 지금부터의 확률이 나와요. 예를 들어 천장 90에서 60번을 쌓았다면 남은 30번을 천장으로 넣어요. 쌓인 횟수가 있어도 앞쪽 확률은 변하지 않는다는 점만 기억하세요.
확률이 구간별로 올라가는 방식도 계산할 수 있나요?
이 글과 계산기는 확률이 일정한 단순 방식만 다뤄요. 일정 횟수 이후부터 확률이 단계적으로 올라가는 방식은 서비스가 공개한 구간별 확률을 하나씩 곱해서 계산해야 해요. 그런 경우 일정 확률로 계산한 값은 실제보다 낮게 나오는 쪽이에요.
계산이 맞는지 어떻게 확인했나요?
정확한 분수 계산과 자바스크립트 계산, 그리고 20만 번 모의실험을 서로 비교해서 일치하는 것을 확인했어요. 직전 실패가 다음 확률에 영향이 없다는 것도 2,000만 번 모의실험으로 확인했어요. 다만 서비스의 실제 확률 설정이 표시와 같다는 전제가 필요해요.
정리
- 확률 p의 뽑기를 n번 뽑아 1개 이상 나올 확률은 1 − (1 − p)^n 이에요. 1%는 100번에 63.4%, 230번에 90.1%예요.
- 평균 횟수(1 ÷ p)는 안전선이 아니에요. 50%는 평균의 0.69배, 90%는 약 2.3배, 99%는 약 4.6배 지점이에요.
- 직전 실패는 다음 확률에 영향이 없어요. 천장이 있어도 천장 직전까지의 확률은 그대로이고, 최대 횟수와 평균만 줄어요.
- 예산은 평균이 아니라 "원하는 확실성"에 맞춰 잡고, 상한을 먼저 정해 두세요.
- 직접 넣어 계산하려면 뽑기 확률·천장 계산기, 다른 확률은 확률 계산기, 모임에서 의외로 자주 겹치는 확률은 생일 역설 계산기, 가위바위보 결판 확률은 가위바위보 확률 계산기에서 볼 수 있어요.
시행 횟수와 첫 성공의 분포는 기하분포(Wikipedia), 직전 결과가 다음 확률을 바꾸지 않는다는 점은 도박사의 오류(Wikipedia)에서도 같은 설명을 볼 수 있어요.